Math 9

 Matematika

Kelas IX

Persamaan Kuadrat

Assalamu'alaikum Wr. Wb.

Selamat pagi sholeh sholehah! Bagaimana kabarnya hari ini?
Semoga kita selalu dalam keadaan sehat walafiat. Aamiin.
Alhamdulillah hari ini kita bisa bertemu kembali dalam pelajaran Matematika. 

Walaupun dirumah saja selalu jaga kesehatan, cuci tangan dengan sabun dan jangan lupa beribadah kepada Alloh SWT.

Sudah melaksanakan shalat dhuha kah? semoga kita selalu istiqomah dalam menjalankan sholat dhuha dan sholat lima waktunya ya.

Sebelum memulai pembelajaran mari bersama-sama kita berdoa terlebih dahulu.

Tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini adalah dapat Mengidentifikasi karakteristik persamaan kuadrat berdasarkan akar-akarnya. Misal: dua akar berbeda, satu akar tunggal, tidak memiliki akar real dan Mengidentifikasi hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Untuk hari ini silahkan pahami dan mengingat materi berikut ya

Menyusun Persamaan Kuadrat

1. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya

Misalnya, diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah x₁ dan x₂. Untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa substitusi akar-akar tersebut ke persamaan berikut:

Contoh soal 1

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 dan -7.

Penyelesaian:

Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah 3 dan -7. Berarti, kamu bisa tulis x₁ = 3 dan x₂ = -7. Kemudian, kedua akar tersebut bisa kamu substitusikan ke persamaan (x - x₁)(x - x₂) = 0, sehingga penyelesaiannya menjadi sebagai berikut:

(x - 3)(x - (-7)) = 0

(x - 3)(x + 7) = 0

x² + 7x - 3x - 21 = 0

x² + 4x - 21 = 0

Jadiii, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -7 adalah x² + 4x - 21 = 0

2. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya

Misalkan, akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah x₁ dan x₂. Jika yang diketahui pada soal adalah jumlah dan hasil kali akar-akarnya, maka untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa gunakan rumus berikut ini:

bentuk persamaan x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0 merupakan hasil kali silang dari persamaan (x - x₁)(x - x₂) = 0, yang kita gunakan untuk mencari persamaan kuadrat di metode sebelumnya. Penjabarannya, bisa kamu lihat pada gambar di bawah ini, nih.

Terus, kenapa sih bisa dapat x₁ + x₂= -b/a dan x₁ . x₂ = c/a? Berawal dari persamaan x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0, kemudian masing-masing ruas dikalikan dengan konstanta a, sehingga persamaan tersebut menjadi sebagai berikut:

ax² - a(x₁ + x₂)x + a(x₁ . x₂) = 0

Setelah itu, disamain deh dengan bentuk umum persamaan kuadrat, sehingga diperoleh:

Contoh soal 2

Tentukan persaman kuadrat yang akar-akarnya adalah α dan β, serta jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah -1 dan -20.

Penyelesaian:

Diketahui akar-akarnya adalah x₁ dan x₂. Kemudian, hasil jumlah akar-akarnya adalah -1, berarti x₁ + x₂ = -1. Lalu, hasil kali akar-akarnya adalah -20, berarti x₁ . x₂ = - 20. Nah, kamu bisa langsung substitusi hasil jumlah dan kali akar-akar yang sudah diketahui ke persamaan:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

Sehingga persamaannya menjadi seperti berikut:

x² - (-1)x + (-20) = 0

x² + x - 20 = 0

Jadi, diperoleh persamaan kuadratnya adalah x² + x -20 = 0.

Contoh soal 3

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan persamaan kuadrat 2x² + 5x - 3 = 0.

Penyelesaian:

Kita pakai variabel p untuk persamaan kuadrat yang baru.

Jadi p = 3x atau kalau kita mau x dalam p, jadinya x = 1/3 p.

Langsung kita substitusikan

2x² + 5x - 3 = 0

2(1/3p)² + 5(1/3p) - 3 = 0

2/9p² + 5/3p - 3 = 0

kedua ruas kita kalikan dengan 9

2p² + 15p - 27 = 0

Sehingga, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali persamaan kuadrat 2x² + 5x - 3 = 0 adalah 2p² + 15p - 27 = 0.

Jika ditulis lagi dalam x   2x² + 15x - 27 = 0.

Contoh soal 4 

Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x² + qx + r = 0 adalah x₁ dan x₂, dimana x₁ < x₂. Tentukan persamaan kuadrat dengan akar x₁ + 2 dan x₂ - 2.

Penyelesaian:

soal ini tidak bisa menggunakan metode substitusi tadi. Soalnya, x₁ dan x₂ berubahnya beda. Ada yang ditambah 2, ada yang dikurangi 2.

Akar-akar persamaan kuadrat x² + 3x -10 = 0 adalah x₁ dan x₂. Kita langsung faktorin aja persamaan kuadratnya, ya. Jadinya,

x² + 3x -10 = 0

(x-2)(x+5) = 0

Sehingga, diperoleh akar-akarnya, yaitu x = -5 atau x = 2.

Nah, di soal diketahui kalau x₁ < x₂. Akar yang lebih kecil yang mana? -5 kan ya. Jadi, x₁ = -5 dan x₂ = 2.

Untuk mencari persamaan kuadrat yang barunya, kita bisa gunakan rumus (x - x₁)(x - x₂) = 0. Karena diketahui di soal kalau akar-akarnya x₁ + 2 dan x₂ - 2, berarti: 

[x - (x₁ + 2)][x - (x₂ - 2)]=0 

Kita substitusi nilai x₁ dan x₂ yang kita dapatkan barusan, sehingga:

[x - (-5 + 2)][x - (2 - 2)]=0 

(x-(-3))(x-0) = 0

(x+3)(x) = 0

kita kali silang

x² + 3x = 0

Jadi, persamaan kuadrat dengan akar x₁ + 2 dan x₂ - 2 adalah x² + 3x = 0. 

Setelah mempelajari materi diatas jika silahkan mencatat ringkasan dibuku tulis kalian, kemudian buatlah 2 soal beserta jawabannya kirimkan foto kalian ke wa ibu.

Jika ada yang ingin ditanyakan silahkan bertanya ya. Terimakasih.

Sekian pembelajaran kita hari ini. Semoga menjadi ilmu yang bermanfaat untuk kita semua.

Tetap melaksanakan 3M semoga pandemi ini segera berakhir. Aamiin.

Terimakasih.

Waalaikumsalam Wr. Wb.