Math

 Matematika

Kelas VIII

Persamaan Linear Dua Variabel

3.5       Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual

Tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini adalah agar peserta didik dapat mendefinisikan persamaan linear dua variabel

Pengertian dan Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang memiliki bentuk ax + by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan asli, serta a dan b keduanya tidak sama dengan nol.

Jadi, bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah ax + by = c, dengan x dan y disebut variabel.

Perbedaan antara persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.

Persamaan linear dua variabel melibatkan satu persamaan saja.
Sistem persamaan linear dua variabel melibatkan dua persamaan atau lebih.

Beberapa cara yang biasa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dua variabel, yaitu menggunakan metode grafik, substitusi, dan eliminasi.


Metode Grafik
Metode ini menyelesaikan masalah dengan menentukan titik perpotongan dua garis lurus yang merupakan tampilan dari kedua persamaan linear dua variabel.
Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian SPLDV dengan metode grafik:
1. Tentukan titik potong salah satu persamaan linear dengan sumbu X atau sumbu Y.
2. Hubungkan kedua titik potong dengan menggunakan garis lurus.
3. Lakukan langkah 1 dan 2 untuk persamaan lain pada SPLDV.
4. Jika kedua titik berpotongan di (x,y) = (x1, y1), penyelesaian SPLD adalah x=x1 dan y=y1.
5. Jika kedua titik tidak berpotongan, SPLDV tidak memiliki penyelesaian.


Contoh Soal
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

Tentukan titik perpotongan tiap-tiap persamaan terhadap sumbu X dan Y.

Untuk 4x + 5y = 40

Titik perpotongan terhadap sumbu X (y=0)
= 4x + 5(0) = 40
= 4x + 0 = 40
=x = 40/4 = 10
Jadi, garis berpotongan dengan sumbu X di (10,0)

Titik perpotongan terhadap sumbu Y (x=0)

= 4(0) + 5y = 40
= 0 + 5y = 40
=y= 40/5= 8

Jadi, garis berpotongan dengan sumbu Y di (0,8)


Untuk x + 2y = 14
• Titik perpotongan terhadap sumbu X (y=0)
= x + 2(0) = 14
= x + 0 = 14
= x = 14
Jadi, garis berpotongan dengan sumbu X di (14,0)


• Titik perpotongan dengan sumbu Y (x=0)
= 0 + 2y =14
= 2y = 14
= y = 14/2 = 7
Jadi, garis berpotongan terhadap sumbu Y di (0,7)
2. Gambarkan tiap-tiap persamaan dalam sebuah koordinat Kartesius.
3. Jika sudah Digambar, kamu akan mendapat perpotongan di titik (x,y) = (2,6)

Metode Substitusi

Cara selanjutnya adalah metode substitusi. Penyelesaian dengan metode ini adalah dengan memasukkan salah satu variabel ke variabel lain.


Contoh Soal
Selesaikan SPLDV di bawah ini menggunakan metode substitusi.



Penyelesaian

1. Beri tanda persamaan

1) pada persamaan linear yang terletak di atas dan 2) pada persamaan linear bagian bawah.


2. Cari persamaan baru dengan cara mengubah persamaan linear 2). Kurangkan persamaan linear 2) dengan 5x
= 5x - 5x + y = -11 - 5x
= y = -11 - 5x


3. Substitusikan persamaan y = -11 -5x di atas ke dalam persamaan 1)
= 4x + 3y = -11
= 4x + 3(-11 - 5x) = -11
= 4x -33 - 15x = -11
= -11x - 33 = -11


4. Tambahkan kedua ruas dengan 33 untuk mendapatkan nilai variabel x
= -11x - 33 + 33 = -11 + 33
= -11x = 22
= x = 22/(-11) = -2


5. Setelah mendapatkan satu nilai variabel, substitusikan ke dalam persamaan 2)
= 5x + y = -11
= 5(-2) + y = -11
= -10 + y = -11
= y = -11 +10
= y = -1


Jadi, penyelesaian SPLDV adalah x = -2 dan y = -1


Metode Eliminasi
Eliminasi berasal dari bahasa Inggris eliminate yang berarti menghapuskan. Artinya, dalam metode ini terdapat proses menghilangkan variabel tertentu untuk mendapatkan nilai dari variabel yang lain.


Contoh Soal
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode eliminasi


Penyelesaian
Pilihlah salah satu variabel yang akan kamu tentukan nilainya. Jika ingin menentukan nilai variabel x, samakan koefisien variabel y dengan cara eliminasi.
= -3x + 0 = -15
= 3x = 15
= x = 15/3 = 5
Jadi, nilai x = 5

Kemudian, mencari nilai variabel y
Kalikan persamaan 2x + 3y = 1 dengan 5 dan persamaan 5x + 3y =16 dengan 2. Hasil perkalian tersebut menjadi persamaan baru seperti berikut.

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 5, y = -3

Ayo berlatih!

1. Tentukan himpunan dari penyelesaian dan dari persamaan berikut ini yaitu x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30.

Math IX

 Matematika

Kelas IX

Transformasi

3.5       Menjelaskan transformasi geometri (refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi) yang dihubungkan dengan masalah kontekstual

Tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini adalah agar peserta didik dapat menjelaskan transformasi Translasi.

Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi berarti perubahan sebuah struktur menjadi bertambah, berkurang atau tertata kembali unsurnya. Sedangkan geometri berarti cabang matematika yang menjelaskan soal sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.

Berdasarkan dua definisi tersebut transformasi geometri dapat disimpulkan sebagai perubahan bentuk dari sebuah garis, sudut, ruang, dan bidang.

Dalam kehidupan sehari-hari, transformasi geometri ini biasanya dimanfaatkan untuk pembuatan karya-karya seni dan desain arsitektur.

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri itu sendiri terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi.

Berikut adalah pemaparan lengkap masing-masing jenis transformasi geometri:

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran merupakan jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.

Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan). Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.

Rumus dari translasi itu sendiri adalah:

(x’,y’) = (a,b) + (x,y)

Keterangan:

x’, y’ = titik bayangan

x,y = titik asal

a,b = vektor translasi

Contoh soal transformasi geometri jenis translasi

Tentukan titik bayangan jika titik A adalah (2, 4) dan ditranslasikan menjadi (6, 3)

Jawab:

(x’, y’) = (x +a, y+b)

(x’, y’) = (2+6, 4+3)

(x’, y’) = (8, 7)

Maka titik bayangannya ada di (8, 7)

Simak video berikut:

https://www.youtube.com/watch?v=yUDiYXiRcS8

Ayo berlatih

1. Tentukan bayangan titik (3,-7) oleh translasi (42)

2. Titik P'(2,-4) merupakan bayangan titik P(3,5) oleh translasi T. Carlah translasi T.

Math VII

 Matematika

Kelas VII

SPLSV

Capaian Pembelajaran

Di akhir fase D peserta didik dapat menggunakan pola dalam bentuk konfigurasi objek dan bilangan untuk membuat prediksi. Mereka dapat menemukan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan distributif operasi aritmetika pada himpunan bilangan real dengan menggunakan pengertian “sama dengan”, mengenali pola, dan menggeneralisasikannya dalam persamaan aljabar. Mereka dapat menggunakan “variabel” dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Mereka dapat menyajikan, menganalisis, dan menyelesaikan masalah dengan menggunakan relasi, fungsi linear, persamaan linear, gradien garis lurus di bidang koordinat Kartesius. Mereka dapat menyelesaikan sistem persaman linear dua variabel melalui beberapa cara. Mereka dapat menggunakan sifat-sifat operasi aritmetika dan “variabel” dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berberapa cara, termasuk faktorisasi dan melengkapkan kuadrat sempurna.

Alur Tujuan Pembelajaran

1. Dalam situasi tertentu, suatu permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan linear.

2.   Dapat memahami pengertian perbandingan dan menyelesaikan perbandingan

Ayo berlatih !

Pada buku cetak halaman 117

1. 1/7 x = 4

Bacaan

 Transformasi Geometri

Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi berarti perubahan sebuah struktur menjadi bertambah, berkurang atau tertata kembali unsurnya. Sedangkan geometri berarti cabang matematika yang menjelaskan soal sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.

Berdasarkan dua definisi tersebut transformasi geometri dapat disimpulkan sebagai perubahan bentuk dari sebuah garis, sudut, ruang, dan bidang.

Dalam kehidupan sehari-hari, transformasi geometri ini biasanya dimanfaatkan untuk pembuatan karya-karya seni dan desain arsitektur.

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri itu sendiri terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi.

Berikut adalah pemaparan lengkap masing-masing jenis transformasi geometri:

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran merupakan jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.

Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan). Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.

Rumus dari translasi itu sendiri adalah:

(x’,y’) = (a,b) + (x,y)

Keterangan:

x’, y’ = titik bayangan

x,y = titik asal

a,b = vektor translasi

Contoh soal transformasi geometri jenis translasi

Tentukan titik bayangan jika titik A adalah (2, 4) dan ditranslasikan menjadi (6, 3)

Jawab:

(x’, y’) = (x +a, y+b)

(x’, y’) = (2+6, 4+3)

(x’, y’) = (8, 7)

Maka titik bayangannya ada di (8, 7)

2. Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau juga dikenal dengan perputaran dalam transformasi geometri sesuai dengan namanya berarti sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar.

Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang.

Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing. Cara kerja gangsing nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tengah.

Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:

·         Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x – a + b)

·         Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b)

·         Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y – b + a, -x + a + b)

·         Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x)

·         Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y)

·         Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x)

Contoh soal transformasi geometri jenis rotasi

Sebuah titik A (3,2) dirotasikan terhadap titik O (0,0) sejauh 90 derajat searah dengan jarum jam. Tentukanlah bayangan dari titik A.

Jawab:

(x’, y’) = (cos90o sin 90o, –sin 90o cos 90o) (3,2)

(x’, y’) = (0 1 , -1 0) (3,2)

(x’, y’) = (-2,3)

 

3. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan dalam transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi. Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin. Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain.

Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika kita sedang bercermin.

Rumus umum dari refleksi antara lain:

·         Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)

·         Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)

·         Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)

·         Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)

·         Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)

·         Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k – y)

Contoh soal transformasi geometri jenis refleksi

Tentukanlah koordinat bayangan dari titik A jika Titik A (4, -2) dicerminkan terhadap sumbu x.

Jawab:

A : (a,b) maka A’ (a, -b)

Maka:

A (4, -2) maka A’ (-4, -2)

 

4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi merupakan transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi.

Titik dari dilatasi menentukan posisi dari dilatasi. Titik ini menjadi tempat pertemuan dari semua garis lurus yang menghubungkan antara titik dalam suatu bangunan ke titik hasil dilatasi.

Sedangkan faktor dilatasi adalah faktor perkalian dari suatu bangun yang sudah didilatasikan.

Contoh sederhana dari dilatasi adalah miniatur. Miniatur biasanya dalam bentuk mainan, seperti mobil-mobilan. Mainan merupakan pengecilan dari sebuah objek besar. Contoh lainnya adalah ketika kita mencetak sebuah foto. Foto tersebut bisa dicetak dengan ukuran-ukuran tertentu tetapi tidak mengubah bentuk dari foto tersebut, mulai dari 2×3, 3×4, sampai 4×6 fotonya tetap sama, hanya ukurannya yang berbeda.

Rumus umum dari dilatasi antara lain:

·         Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx, ky)

·         Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx = k(x-a) + a, (k(y-b) + b))

Contoh soal transformasi geometri jenis dilatasi

Titik A (2,4) akan didilatasikan sebesar tiga kali, dengan pusat yang berada di (-4,2), maka tentukanlah titik A

Jawab:

(x, y) = k(x-a) + a, K(y – b) + b

(2, 4) = 6(2 – (-4)) + (-4), 6(4 – 2) + 2

(2, 4) = (32, 14)

Maka letak titik A dari (2, 4) dengan dilatasi (-4,2) adalah (32, 14)